3.5 DETERMINATES DE UNA MATRIZ

Introducción
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

En este curso estudiaremos, sobre todo, los determinantes de orden dos y los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos.

1.Determinantes de segundo y tercer orden.

Definición 1. Dada una matriz de orden dos , se llama determinante de la matriz al número que se obtiene así: a11a22 - a12a21.

Se representa det A ó ½A½.

Ejemplo 1:= 3-(-8) = 11.

Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a11, a12) y (a21, a22).

Se puede ver con detalle en Interpretación Geométrica del determinante, usando el applet Descartes.



Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al nº que se obtiene así:

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

Observar que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes y luego se suman todos manteniendo el mismo signo o cambiado, según la regla siguiente debida a Sarrus.

Términos positivos Términos negativos



Ejemplo 2. Calcula el valor del determinante de la matriz A =.

Aplicando la regla de Sarrus ½A½= 0 + (-4) + 28 - 0 - (-2) -8 = 18

Otra forma práctica de recordar la definición es la siguiente:

Se escriben a la derecha (o debajo) de la matriz las dos primeras líneas. La diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +, la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo - .

Ejemplo 3. Calcula el valor del determinante = 16 +15 +18 -10 =39

2 0 -3

-1 2 1

Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:

a) , b) , c) ) .

2. Propiedades de los determinantes

Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres.

1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det At .

(Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas).

2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.

3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número.

(Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)

Ejemplo 4. El determinante es múltiplo de 5, ya que la primera columna lo es. También es múltiplo de 7, pues lo es la 2ª columna, por lo tanto el determinante es múltiplo de 35..

Ejercicio 2. Comprueba la afirmación del ejemplo desarrollando por Sarrus.

4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es.

5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0.

Ejemplo 5. = 0, pues las dos primeras filas son proporcionales.

6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes.

Ejemplo 6:

= + (Comprobarlo)

7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero.

Ejemplo 7. = 0 , pues la 3ª columna es la suma de las dos primeras.

8. Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel determinante no varía.

Ejemplo 8: A= ,a la columna 1ª se le suma la tercera por -2, queda: B=,

= -1 + 12=-11, = -1-(12) =-11, son iguales.

9. Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1.

10. El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes.

Es decir det AB = det A. det B.

Como consecuencia de esta propiedad:

11. Si $ A-1 entonces ½A½-1 =

En efecto, A.A-1= I , luego = = 1, de donde el resultado.

Ejercicio 3. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes ecuaciones:

a) = = 8

b)= 15 = 15

Ejercicio 4. Demostrar[1], sin desarrollar, que son ceros los siguientes determinantes:

a) ; b) ; c) .