3.2 OPERACIONES CON MATRICES

SUMA Y RESTA DE MATRICES



La suma de dos matrices y de la misma dimensión, es otra matriz de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico .

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Las propiedades de la suma de matrices son:
A+(B+C)=(A+B)+C (propiedad asociativa)
A+B=B+A(propiedad conmutativa)
A+0=A(0 es la matriz nula)
La matriz - A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A+(-A)=0.
La resta de matrices A y B se representa por A-B, y se define como: A-B=A+(-B)
suma



resta



Suma y resta de matriz A, B.



PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p .

De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Algunas propiedades del producto de matrices son:
Ax(BxC)=(AxB) x C
El producto de matrices en general no es conmutativo.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AxB=BxA=In . Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por .
Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene AxIn=InxA=A .
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A x (B+C)= A x B + A x C.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

El producto de una matriz por un número real k es otra de la misma dimensión que A y tal que cada elemento de B se obtiene multiplicando por k, es decir,
El producto de la matriz A por el número real k se designa por Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Algunas propiedades del producto de una matriz por un escalar son las siguientes:
k(A+B)=kA+kB (1ra propiedad distributiva)
(k+h)A=kA+hA(2da propiedad distributiva)
k[hA]=(kh)A (propiedad asociativa mixta)
1A=A(elemento unidad)

De forma similar se define la suma y la diferencia de una matriz por un escalar.


TRASPOSICIÓN DE MATRICES

Dada una matriz de orden m x n, , se llama matriz traspuesta de A, y se representa por a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
Es decir:

Algunas propiedades de la trasposición de matrices son:

Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.