3.3. CLASIFICACION DE LAS MATRICES

“Matriz Escalar”

Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.

Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta.

Una matriz A es antisimétrica (o hemisimétrica) si su traspuesta es igual a -A.

MATRIZ ORTOGONAL Una matriz se llama ortogonal si A T A = A A T = I. Este resultado implica que A T = A –1.

Ejemplo: Pruebe que la siguiente matriz es ortogonal.

Considere la siguiente matriz ortogonal

entonces

Esta relación genera las siguientes ecuaciones:

u1• u1 = 1 u1• u2 = 0 u1• u3 = 0

u2• u1 = 0 u2• u2 = 1 u2• u3 = 0

u3• u1 = 0 u3• u2 = 0 u3• u3 = 1

Esto quiere decir que los renglones de A son ortogonales y de longitud unitaria, es decir, forman un conjunto de vectores ortonormales. En forma similar se puede probar que las columnas forman también un conjunto de vectores ortonormales.

Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.

Son matrices de orden, p x p ó p2.

Las matrices:

A = 2 0 B = 0 2 3

-3 1 −1 0 2

0 0 0

son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.

Los elementos a11, a22, a33, … ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.

La diagonal principal será:

a11 … … …

A = … a22 … …

… … a33 …

… … … ann

una matriz cuadrada tal que:

a11 = a22 = a33 = …. = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.

La representaremos por I o sea:

IA = 1 0

•1
es una matriz de orden 2 x 2.

Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

Esta es un matriz diagonal:

2 0 0 0

A = 0 3 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 4

Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.